Cómo calcular el área de un triángulo: fórmulas y otras maneras

Las operaciones con triángulos son una de esas partes de la geometría que puede llegar a complicarse mucho. ¿Cómo calcular el área de un triángulo? Este problema, aparentemente sencillo, puede ponerse cuesta arriba en cuanto aparecen lados, ángulos o puntos sobre el plano. Esta guía pretende solucionar algunas dudas y resolver diferentes tipos de cálculos de área según el triángulo dado.

Índice

Cómo calcular el área de un triángulo: fórmula clásica
Cómo calcular el área de un triángulo a partir de sus lados
Cómo calcular el área de un triángulo a partir de sus lados y ángulos
1. Dos lados, un ángulo
2. Un lado, dos ángulos
Cómo calcular el área de un triángulo a partir de sus coordenadas

cómo calcular el área de un triángulo con la Fórmula clásica

A la hora de calcular el área de un triángulo, la primera fórmula que viene a la cabeza es la base (b) por la altura (h), dividido entre dos o, matemáticamente, (b·h)/2. Esta fórmula es muy sencilla de aplicar cuando se tienen los datos de la base o la altura o estos son fáciles de obtener.

Área = (b·h)/2

Problema 1. ¿Cuál es el área de un triángulo de altura 8 cm y base 2 cm?

En este caso se tienen todos los datos necesarios para el cálculo del área:

Área = (b·h)/2 = (8·2)/2 = 8 cm²

Problema 2. Un solar con forma de triángulo rectángulo mide 24 metros en su lado más corto, y 56 metros en el más largo. ¿Cuál es el área del solar?

El lado corto es uno de los catetos del triángulo rectángulo, y el largo es su hipotenusa. Se tienen dos posibles bases, pero ninguna altura, de modo que el primer paso será calcular el segundo cateto: al ser perpendicular al primero, uno servirá de base y el otro de altura. Por tanto, se aplica el teorema de Pitágoras:

24² + x² = 56²

x = 50,59 m

Ahora que ya se tiene el cateto (y por tanto la altura), el siguiente paso consiste en aplicar la fórmula clásica de cómo calcular el área del triángulo:

Área = (b·h)/2 = (56·50,59)/2 = 1416 m²

Cómo calcular el área de un triángulo conociendo sus lados

Si se dispone de los tres lados, calcular el área de un triángulo también es cuestión de aplicar una fórmula.

Área = ?((a+b+c)/2·((a+b+c)/2-a)·((a+b+c)/2-b)·((a+b+c)/2-c))

A esta ecuación se la conoce como la fórmula de Herón, y hace uso del cálculo del semiperímetro de un triángulo, que se calcula así:

s = (a+b+c)/2

Área = ?(s·(s-a)·(s-b)·(s-c))

Problema 3. Calcular el área de un triángulo que forman tres bolígrafos de 15 cm.

En este caso el triángulo es equilátero porque todos los lados son iguales. Aunque sería fácil calcular la altura como si fuese la hipotenusa de un triángulo más pequeño, se usará la fórmula de Herón, empezando por el semiperímetro:

s = (15+15+15)/2 = 22,5 cm

Área= ?(22,5·(22,5-15)·(22,5-15)·(22,5-15) ) = 97,42 cm

Problema 4. Calcular el área del triángulo anterior sin usar la fórmula de Herón.

Ahora sí, se tiene un triángulo equilátero de lado 15 cm y se necesita hacer uso de la fórmula de Pitágoras. ¿Cómo? Dividiendo por la mitad el triángulo equilátero para obtener dos triángulos rectángulos idénticos.

El cateto largo de cualquiera de los dos triángulos rectángulos será la altura del triángulo equilátero. De estos triángulos se conoce:

hipotenusa = 15 cm

cateto corto = 7,5 cm (es la mitad del lado)

Aplicando la fórmula de Pitágoras.

7,5² + x² = 15²

x = 12,99 cm

Ahora ya se puede aplicar la fórmula clásica del cálculo del área de un triángulo:

Área = (b·h)/2 = (15·12,99)/2 = 97,42 m²

Cómo calcular el área de un triángulo conociendo sus lados o ángulos

En ocasiones se conoce algún lado del triángulo y algún ángulo del mismo, por lo que a priori no es posible usar ni la fórmula clásica del cálculo del área del triángulo ni la fórmula de Herón. Se necesita pasar antes por razones trigonométricas: senos, cosenos y tangentes. Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Existen varias fórmulas aplicables para calcular el área de un triángulo conociendo lados y ángulos, en función de los lados y ángulos que se conocen y cómo se ubican en el triángulo. En las fórmulas el ángulo A (mayúscula) es el lado opuesto al lado a (minúscula), y lo mismo ocurre con B y C.

Calcular el área de un triángulo conociendo un ángulo y dos lados

Para calcular el área de un triángulo conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman entre ellos basta con aplicar la siguiente fórmula:

Área = (a·b·sinC)/2

¿Qué ocurre si el ángulo que se conoce no se encuentra entre los dos lados dados? Para calcular el ángulo C entre los lados a y b siempre se puede recurrir al teorema del seno, con el que obtener el ángulo que falta:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Problema 5. Una plaza triangular mide 38 pies en uno de sus lados y 27 pies en otro. El ángulo que forman mide 30º. ¿Cuál es el área de la plaza?

El área de la plaza se calcula así:

Área = (38·27·sin?30º)/2 = 256,5 pies cuadrados

Calcular el área de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos

Para calcular el área de un triángulo conociendo uno de sus lados y los lados contiguos se puede aplicar la siguiente fórmula:

Área = (a^2·sinB·sinC)/(2·sin(B+C))

¿Qué ocurre si los dos ángulos que se tienen en el problema solo uno de ellos es el contiguo? La respuesta es fácil: la suma de los tres ángulos de todo triángulo suman 180º. Si solo se tiene A y B, pero no C, C se calcula con esta ecuación:

A + B + C = 180º

Problema 6. La puerta principal de un museo tiene forma triangular, siendo su base de 4 m y los ángulos que forman los marcos de 45º y 60º, respectivamente. ¿Qué área tiene la puerta?

Aplicando la fórmula de arriba, basta con sustituir los valores:

a = 4 m

B = 45º

C = 60º

Área = (4^2

Área = (4^2·sin45·sin60)/(2·sin(45+60)) = 2,32 m²

Cómo calcular el área de un triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices

Cuando se trabaja sobre una cuadrícula es frecuente que los datos del problema vengan definidos por la ubicación puntos A, B y C sobre el plano. Se suelen usar letras mayúsculas para los puntos sobre el plano, que en este caso coinciden con los ángulos. Pero mientras que los puntos vienen definidos con dos coordenadas, por ejemplo A(2,5), los ángulos se expresan en grados: A=45º.

Para calcular el área de un triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices basta con calcular las longitudes entre los mismos. Suponiendo que AB es el segmento entre A y B, y que los vértices del triángulo son A(a_x, a_y), B(b_x, b_y), C(c_x, c_y), entonces:

c = AB = ?(b_x-a_x)^2+(b_y– a_y)^2 )

Problema 7. Calcular el área del triángulo definido por los puntos A(1,4), B(5,5) y C(4,0)

El primer paso será el de calcular la longitud de cada lado:

a = BC = ?(4-5)^2+(0-5)^2 ) = 5,099

b = AC = ?(4-1)^2+(0-4)^2 ) = 5

c = AB = ?(5-1)^2+(5-4)^2 ) = 4,123

Y posteriormente aplicar la fórmula de Herón con estos datos:

s = (5,099+5+4,123)/2 = 14,222

Área = ?14,222·(14,22-5,099)·(14,222-5)·(14,222-4,123)) = 109,92 unidades cuadradas

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Imágenes | Michael Dziedzic, Propias

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