Los logaritmos son operaciones usadas a diario en todo tipo de trabajos. Averiguar la edad de un fósil, sumar decibelios, obtener el brillo aparente de las estrellas o entender la intensidad de los terremotos son algunos de los usos específicos de los logaritmos.
A esto hay que agregar las escalas logarítmicas, sin las cuales es imposible dibujar el Sistema Solar en una sola hoja o agrupar las frecuencias de todo el espectro de radio en el mismo lugar. Las escalas logarítmicas permiten agrupar muchas escalas diferentes de forma simplificada. Por ejemplo:
- Los decibelios de sonido no pueden entenderse sin logaritmos, ya que 60 dB más 60 dB no suman 120 dB, sino 63 dB.
- Un terremoto de grado 3 es libera diez veces más energía que uno de grado 2. Uno de grado 4 libera cien veces más energía que uno de grado dos.
Índice
- Definición de los logaritmos
- Propiedades del logaritmo
- Identidades logarítmicas
- Calculadora de logaritmos
Definición de los logaritmos
Los logaritmos son una operación matemática opuesta a la exponente o la potencia. De manera formal, la operación matemática se llama ‘logaritmación’ y consiste en hallar el exponente (c) al cual fue elevada la base (b) para obtener un número (a). Veámoslo con unos ejemplos.
El logaritmo se compone de los siguientes elementos:
- Base del logaritmo. Es el número ubicado con un subíndice. En el ejemplo, b.
- Argumento. Es el número que está dentro del logaritmo. En el ejemplo, a.
- Logaritmo. Es el resultado del logaritmo. En el ejemplo, c.
A su vez, el exponente se compone de los siguientes elementos:
- Base. Es el número al que se eleva el exponente. En el ejemplo, b.
- Exponente. Es el número que eleva a la base. En el ejemplo, c.
- Potencia. Es el número resultante de elevar la base al exponente. En el ejemplo, a.
La relación inversa entre el logaritmo y la potencia puede verse en la siguiente imagen. La línea que hace de ‘espejo’ entre potenciación y logaritmación es la función de primer grado y = x.
Propiedades del logaritmo o identidades triviales
Los logaritmos son muy versátiles debido a sus propiedades triviales, que permiten realizar rápidas operaciones con facilidad:
- Logaritmo de su base. El logaritmo de su base es siempre uno, sin importar la base o el argumento, porque cualquier número elevado a uno es ese mismo número. Se muestra en la primera línea de la tabla.
- El logaritmo de 1. El logaritmo de 1 siempre es 0, independientemente de la base, porque cualquier número elevado a 0 es siempre 1. Se muestra en la segunda línea de la tabla.
Esta última propiedad puede verse representada en la gráfica. Como se observa, todos los logaritmos pasan por el punto (1, 0) sin importar la base o el argumento.
Además, se observan otros datos de interés:
- Cuando b es un número entero y el argumento se encuentra entre 0 y 1, entonces el logaritmo es siempre negativo.
- Los números negativos no tienen logaritmo.
- Todas las funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en x = 0.
- Todas las funciones logarítmicas son crecientes, continuas y derivables en el intervalo de 0 a infinito.
Identidades logarítmicas o propiedades algebraicas de los logaritmos
Las identidades logarítmicas son igualdades que ayudan a resolver problemas logarítmicos gracias a sus propiedades. Estas reciben el nombre de propiedades algebraicas.
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.
Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
Calculadora de logaritmos
Con el objetivo de poder practicar con logaritmos, Symbolab lanzó una calculadora en la que es posible operar con ellos. A través de su interfaz modular es posible obtener soluciones que vienen acompañadas con sus respectivos pasos. Así, cuando le preguntamos cuál es el logaritmo con base 2 de la fracción 5/6, el sistema devuelve todas las operaciones:
Cuando se le pregunta cuál es el resultado de suma el logaritmo con base 3 de 7 más el logaritmo con base 3 de 8, el programa recurre a la propiedad de logaritmo de un producto para resolverlo, invirtiendo el proceso visto arriba.
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